Práctica del Péndulo Simple.

Integrantes del Equipo:
S11012021 Mancera Piña, Pavel Enrique
S11012025 Guiot Lomelí, Marianne
S11012031 Miranda Mendoza, Cintia Roxana
S11012050 Castañeda Hernández, Grecia Elizabeth

Tema:
Péndulo simple.

Curso:
Álgebra y Trigonometría

Nombre del profesor(a):
Argelia Sol Haret Báez Barrios

Actividad #1:
Péndulo simple

Fecha de Entrega:
25 de Noviembre de 2011

Objetivo

Nuestro principal objetivo es lograr calcular la gravedad que existe, ubicandonos en Xalapa y asi mismo lograr encontrar una relación entre nuestras variables utilizadas en el experimento del pendulo simple (La masa suspendida, la longitud del cable, el desplazamiento angular de partida asi mismo como el periodo).

Introducción

         Antes que nada, tenemos que tener muy en claro lo que es un pendulo y lo que es un periodo pero asi mismo saber a que nos referimos cuando decimos “desplazamiento angular”, ya que de otra forma no podremos empezar nuestro experimento si no tenemos los elementos que intervienen, en claro; para esto, demos una definicion para estos 3 conceptos.

Antecedentes:

Pendulo: ¿Qué es un pendulo? Bien, al decir pendulo nos referimos a sistema físico que puede oscilar bajo la acción gravitatoria u otra característica física (elasticidad, por ejemplo) y que está configurado por una masa suspendida de un punto o de un eje horizontal fijos mediante un hilo, una varilla, u otro dispositivo.

Periodo: ¿a qué nos referimos con periodo?, el periodo se define como el tiempo necesario para que se complete un recorrido completo u oscilación.

Desplazamiento angular: es la distancia recorrida por un cuerpo que sigue una trayectoria circular.

         Ahora bien, ya que tenemos estos conceptos en claro, podemos pasar al siguiente punto. Al realizar nuestro experimento requeriremos de ciertos materiales, ¿cuáles serian dichos materiales?, pues simplemente los que presentamos a continuación:

Materiales:

*Regla           *Cronometro                       *Transportador                    *Cuerda       

*5 esferas o pelotas de pesos diferentes                                              *Calculadora

*Base para péndulo                       *Papel milimétrico              *Papel logarítmico

Antecedentes:

Sabemos que el periodo de un péndulo es dependiente de la longitud de la cuerda, por lo tanto,  el periodo del péndulo es directamente proporcional a la longitud de la cuerda.

Por principios físicos y matemáticas superiores se es conocido que el periodo de un péndulo es dado por la ecuación que a continuacion se presenta:

 En donde tenemos que:

T= periodo.

Θ= desplazamiento angular, o ángulo de partida del péndulo.

L= longitud de la cuerda.

g= aceleración gravitatoria     

   

Y el último término es parte de una serie infinita (de la cual por conveniencia solo ocuparemos los primeros 3 términos).

Para ángulos pequeños (θ < 20°), los términos de la serie que incluyen θ son muy pequeños comparados con la unidad (por lo tanto <<1), y en este caso:

Hay que resaltar, que según las ecuaciones dadas el periodo teórico del péndulo es completamente independiente a la masa del objeto. Y en ángulos pequeños es también independiente del desplazamiento angular.

Procedimiento Experimental

1.- Armamos nuestro pendulo simple asegurandonos de que la cuerda este segura y no se resvale del brazo.

2.-Investigamos la relacion entre el angulo y el periodo. Experimentalmente determinamos el periodo si hay un cambio en el angulo; despues calculamos el periodo teoricamente. Todo esto realizandose con una mas y una longitud de la cuerda constante y registrandose en una tabla.

3.-Investigamos la relacion entre la masa y el periodo. Experimentalmente determinamos el periodo cuando la masa varia, teniendo un angulo y una longitud de la cuerda contantes; despues se realiza el calculo del periodo de una manera teorica. Registramos los resultados en una tabla.

4.- Investigamos la relacion entre la longitud y el periodo. Experimentalmente determinamos el periodo cuando la longitud de la cuerda varia teniendo una masa y un angulo constantes; despues se realiza el calculo teoricamente. Registramos todos los datos en una tabla.

5.- El periodo experimental en cada caso se calcula con la siguiente formula: 

 donde T: Periodo; t= tiempo; c=ciclos

6.- Calculamos el porcentaje de error entre el valor experimental y el teorico del periodo de cada longitud del péndulo.

         7.- Tomamos el valor de la gravedad como 9.81 m/s

         8.-Trazamos L contra T²  de los datos experimentales de la ultima tabla. Determinamos la pendiente de la grafica y calcular el valor experimental de la gravedad.

Reporte Experimental

Cuando investigamos la relacion entre el angulo y el periodo encontramos una de las leyes del pendulo la cual nos dice:

Ley de isocronismos: Para pequeños ángulos de amplitud, los tiempos de oscilación de dos péndulos de igual longitud son independientes de las amplitudes.

Esto es que, cuando el pendulo tiene masa y longitud de la cuerda constante, y lo que varia es el angulo nos percatamos de que el periodo no varia. Tomamos en cuenta de que esto sólo ocurre para angulos menores a 20°.

A continuacion se presenta donde se registra el periodo cuando se mantiene una longitud y una masa constantes, y lo que varia en este caso es el angulo.

	m=40g	L=23.5cm
ángulo  θ	periodo T (s)		Porcentaje de error
	Experimental	Teórico
5°	1.052	1.0038	4.82%
10°	1.096	1.0038	9.22%
20°	1.120	1.0106	10.94%
30°	1.121	1.0196	10.14%
45°	1.139	1.042	9.7%
60°	1.219	1.0745	14.45%

Graficamos los valores experimentales.

 Al investigar la relacion entre la masa y el periodo del pentulo nos encontramos con una de las leyes del pendulo esta ley se enuncia de la siguiente manera:

Ley de masas: Los tiempos de oscilación de varios péndulos de igual longitud son independientes de sus masas y de su naturaleza.

Esto solo quiere decir que si sólo varia la masa del pendulo y se mantiene constante la longitud y el angulo, el periodo no debe tener ninguna variacion puesto que, aunque se tengan diferentes masas, el periodo siempre va a tener el mismo valor.

A continuacion se presenta una tabla donde se registra el periodo experimental y teorico cuando tenemos un cambio en la masa. Tambien en la tabla incluimos el porcentaje de error.

	Angulo  θ	L=23.5cm
Masa m	periodo T (s)		Porcentaje de error
	Experimental	Teórico
40 gr	1.121	0.972	14.9%
16 gr	1.040	0.972	6.8%
10 gr	1.021	0.972	4.9%
8 gr	1.019	0.972	4.7%

A continuacion se presenta una grafica del periodo experimental con la masa.

Finalmente vamos a presentar la relacion entre la longitud y el periodo del pendulo. Con la investigacion nos encontramos con la siguiente ley del pendulo:

Ley de las longitudes: Los tiempos de oscilación (T) de dos péndulos de distinta longitud (en el mismo lugar de la Tierra), son directamente proporcionales a las raíces cuadradas de sus longitudes.

Por lo tanto, ahora sabemos que el periodo si varia cuando mantenemos una masa y un angulo constante pero la longitud de la cuerda del pendulo varia.

A continuacion se presenta la tabla con el periodo experimental y teorico si se cambia la longitud de la cuerda.

Relación matemática:

Una de las variables que quisimos obtener gracias a la realización de dicho experimento, era el valor de la gravedad en Xalapa.

Analizando la ecuación del péndulo simple nos dimos cuenta que tenía la forma  y=axⁿ, por lo tanto vimos que teníamos que utilizar logaritmos para lograr nuestro objetivo, y lo que hicimos fue lo siguiente.

1.- De la ecuación, deducimos que 2pi/raiz g es una constante, por lo tanto: logT=logcteLⁿ

2.- De acuerdo a las leyes de los logaritmos, podemos separar la ecuación de esta forma: logT=logcte + logLⁿ

3.- Nuevamente, con las leyes de los exponentes vemos la ecuación de la siguiente manera: logT=logcte + nlogL

4.- Si denominamos logT como y, logcte como b y logL como x, podemos decir que tenemos una ecuación de tipo y=nx+b, lo que nos da por resultado una línea recta, sin embargo, desconocemos los valores de n y b. Para determinarlos hicimos una tabla que incluía x(logL), y (logT), xy y x².

5.- Una vez obtenidos dichos valores, los sustituimos en la ecuación del criterio de mínimos cuadrados y así pudimos obtener los valores de n y b.

Resultados

L (m)	T (s)	x=logL	y=logT	xy	x²
0.1	0.66	-1	-0.18	0.18	1
0.15	0.76	-0.82	-0.11	0.04	0.67
0.2	0.82	-0.69	-0.08	0.05	0.47
0.25	0.99	-0.6	0	0.00	0.36
0.3	1.8	-0.52	0.25	-0.13	0.27
Σ		-3.63	-0.12	0.14	2.77

Discusión. Mínimos cuadrados.

Hay una manera muy sencilla de encontrar los valores a y n de una función del tipo y=axⁿ , librándonos de la molestia de tener que hacer un cambio de variable para encontrar el valor de estas variables. Lo que hay que hacer es lo siguiente:

Si tenemos nuestra ecuación y=axⁿ le podemos aplicar logaritmos y esto no la afectaría, por lo que tendríamos:

Log y= log axⁿ

Desarrollando este termino con propiedades de los logaritmos obtenemos: log y = nlogx + loga, lo cual tiene semejanza con una ecuación de la recta del tipo y=mx+b, donde n corresponde con la pendiente y a con el valor de b osea la ordenada al origen.

Esta ultima relación con logaritmos nos indica que si tenemos una función exponencial del tipo y=axⁿ  (notese que la función no tiene un termino independiente, de ser asi el método deja de tener validez) al ser graficada en papel logarítmico nos dará como resultado una línea recta, en la cual como ya establecimos obtenemos el valor de n por medio de su pendiente, y mediante su ordenada al origen el valor de a.

Una vez que hemos obtenido la grafica en el papel logarítmico y que obtuvimos nuestra recta podemos calcular la pendiente con una relación ya establecida:

Para obtener los valores de las variables en esta ecuación basta con tomar puntos cualesquiera que formen parte de la recta.

Podemos nombrar también otra forma para obtener la pendiente de esta gráfica, mediante el método geométrico o gráfico, éste consiste en trazar un triángulo rectángulo donde la recta es la hipotenusa y los catetos son líneas que van paralelas con los ejes, se miden las longitudes de los catetos con una regla normal y nombrando Dx al cateto paralelo al eje x y Dy al paralelo al eje y definimos la pendiente en la ecuación:

Sabemos también que la pendiente es la tangente de nuestro ángulo, por lo que si tenemos un transportador a la mano la podemos obtener.

Conclusiones

Gracias a nuestro experimento con el péndulo simple pudimos aproximar el valor de la gravedad en Xalapa. Decimos aproximar porque hubo diversos factores que no se pudieron controlar y con los cuales se vió afectado el experimento; así como también la utilización de algunos decimales.

Utilizando un péndulo simple pudimos encontrar un valor aproximado para g en la ciudad de Xalapa, teniendo así una diferencia del orden de decimales; suponemos que dicha diferencia se debió a factores tales como el rozamiento con el aire y precisión humana al tomar el tiempo por mencionar las más importantes.  La utilización de logaritmos fue necesaria ya que la grafica de periodo vs longitud de la cuerda toma forma de rama de parábola y al calcular logaritmos la grafica se aproxima a una recta, lo cual simplifica la localización de puntos en ella.

Podemos decir que el objetivo se cumplió de manera satisfactoria.

Referencias

•Tippens, Paul (2011). "Física: conceptos y aplicaciones." Séptima Edición. McGraw Hill Interamericana .


•Gutiérrez Aranzeta, Carlos. (2006). "Introducción a la metodología experimental." Segunda Edición. Editorial Limusa.


•W. White, Marsh. (2007). "Practical physics."