martes, 22 de noviembre de 2011

Ley de Enfriamiento de Newton.

Integrantes del Equipo:
S11012021 Mancera Piña, Pavel Enrique
S11012025 Guiot Lomelí, Marianne
S11012031 Miranda Mendoza, Cintia Roxana
S11012050 Castañeda Hernández, Grecia Elizabeth

Tema:
Ley de Enfriamiento de Newton

Curso:

Álgebra y Trigonometría

Nombre del profesor(a):

Argelia Sol Haret Báez Barrios

Actividad #2:

Constante de Enfriamiento de Newton

Fecha de Entrega:

25 de Noviembre de 2011

Resumen de la ley de enfriamiento
En este informe presentaremos el tema de la Ley de Enfriamiento de Newton, daremos un recorrido a través de la historia sobre los estudios precedentes sobre el tema y a los conocimientos ya asentados. También mostraremos los resultados que obtuvimos mediante nuestras observaciones durante el experimento y el registro  de los datos arrojados, lo que nos permitirá estar en posición para dar por ciertas o por falsas las investigaciones realizadas anteriormente.

Introducción:
Como el nombre de la práctica nos indica el objetivo de ésta es encontrar las relaciones que nos permitan conocer la constante de tiempo de un termómetro según la ley de enfriamiento de Newton.
Antes de empezar a abordar el experimento así y sus antecedentes sería muy bueno explicar en que radica la importancia de este experimento.
La ventaja y grandeza que nos ofrece la física es que estamos rodeados de ella, aún inconscientemente, todo el tiempo estamos realizando actividades que se explican mediante el estudio de esta ciencia, y este caso no es una excepción. Creemos que la gente no puede andar por la vida aceptando los fenómenos que ocurren diariamente sin preguntarse el porqué suceden. Un claro ejemplo ocurre cuando tenemos un objeto caliente. Todos nos hemos dado cuenta que mientras más tiempo pase el cuerpo va perdiendo calor, pero es rara la vez que nos preguntamos el porqué de esto, solo lo asumimos como un conocimiento obvio y trivial, que siendo analizado a fondo nos podremos dar cuenta de que no lo es. Éste es un punto que indica la importancia de esta práctica, pues nos permitirá tener una mayor comprensión de un fenómeno con el que nos relacionamos día con día.
Sir Isaac Newton fue una de las muchas personas que se interesó por estos fenómenos e inclusive enunció una ley que es la que rige este experimento. La ley de enfriamiento de Newton nos dice que:

"La tasa de enfriamiento de un cuerpo es proporcional a la diferencia de temperatura entre el cuerpo y sus alrededores"

Gracias a esto sabemos que la temperatura de un cuerpo decae exponencialmente conforme el tiempo avanza, en este experimento nos dispondremos a comprobarlo gracias a todas las herramientas que hemos adquirido.

Antecedentes
 El nombre de Isaac Newton (1641-1727) es ampliamente reconocido por sus numerosas contribuciones a la ciencia. En su juventud estudió el movimiento y estableció las leyes de la dinámica (las Leyes de Newton), estableció la ley de la gravitación universal (mostrando que lo que vale en la tierra también vale en el cielo), explicó la descomposición en colores de la luz blanca cuando pasa por un prisma, desarrolló lo que hoy conocemos en matemática como cálculo, entre otras cosas. Ya mayor, a los 60 años de edad, aceptó un puesto como funcionario nacional y se desempeñó como responsable de la Casa de la Moneda de su país.
Allí tenía como misión controlar el acuñado de monedas. Probablemente se interesó por la temperatura, el calor y el punto de fusión de los metales motivado por su responsabilidad de supervisar la calidad de la acuñación.
Tampoco esa vez Newton perdió la oportunidad de hacer uso de los materiales más simples de los que disponía para llevar a cabo mediciones de gran significado. Construyó sus propios termómetros, utilizando aceite de linaza como material termométrico, y definió su propia escala de temperatura. En su escala, 0 era la temperatura del aire en invierno a la cual se congela el agua, y definió como 12 a la temperatura más alta que un termómetro registra cuando está en contacto con el cuerpo humano. En su escala, el metal con que se hacían las monedas se fundía a 192. Anecdóticamente, Newton estableció que la temperatura más alta de un baño que uno puede soportar era igual a 17.
Utilizando un horno a carbón de una pequeña cocina, realizó el siguiente experimento. Calentó al rojo un bloque de hierro. Al retirarlo del fuego lo colocó en un lugar frío y observó cómo se enfriaba el bloque de metal. Sus resultados dieron lugar a lo que hoy conocemos con el nombre de Ley de enfriamiento de Newton.
Dicha ley se escribe como: dT/dt = k (T- Tamb)  
Donde la derivada de la temperatura respecto al tiempo (dT/dt) representa la rapidez del enfriamiento, T es la temperatura instantánea del cuerpo cuando está caliente, k una constante que define el ritmo de enfriamiento y Tamb es la temperatura ambiente, que es la temperatura que alcanza el cuerpo luego de determinado tiempo.
Los comentarios previos acentúan la genialidad de Newton, interesado por estos problemas de termodinámica mucho tiempo antes de que el concepto de calor fuera entendido. Destacamos que Sadi Carnot publicó sus estudios fundamentales sobre el “poder motor del fuego” cien años después de la muerte de Newton.
Mediante nuestro experimento describiremos el decaimiento exponencial en función del tiempo, como se comporta la temperatura de un cuerpo en función del tiempo y veremos que significa una constante de tiempo y cómo afecta el decaimiento exponencial.

Procedimiento
Materiales necesarios:
·         Un termómetro (0°C a 150°C)
·         Calorímetro
·         Cronómetro
·         Mechero de Bunsen
·         Agua (300 ml)
·         Anillo y soporte metálico
Procedimiento experimental:
1.- Medimos la temperatura del ambiente, obteniendo como resultado 22° C
2.- Llenamos el calorímetro con 300 ml de agua, y lo colocamos en un anillo en el soporte metálico. Encendimos el mechero de Bunsen y esperamos a que el agua llegara a 70°C
3.- Apagamos el mechero y empezamos a registrar medidas de la temperatura en intervalos de tiempo de 5 minutos, durante 3 horas.
4.- Obtuvimos los siguientes resultados:                                                 


TIEMPO(min)
TEMPERATURA (T)
TEMPERATURA AMBIENTE (Tt)
(T-Tt)
Ln (T-Tt)
0
70
22
48
3.871201011
5
69
22
47
3.850147602
10
62.5
22
40.5
3.701301974
15
57.5
22
35.5
3.569532696
20
53.3
22
31.3
3.443618098
25
50
22
28
3.33220451
30
47
22
25
3.218875825
35
44
22
22
3.091042453
40
42
22
20
2.995732274
45
40
22
18
2.890371758
50
38.2
22
16.2
2.785011242
55
37
22
15
2.708050201
60
35.5
22
13.5
2.602689685
65
34.5
22
12.5
2.525728644
70
33.5
22
11.5
2.442347035
75
32.5
22
10.5
2.351375257
80
31.5
22
9.5
2.251291799
85
31
22
9
2.197224577
90
30.5
22
8.5
2.140066163
95
30
22
8
2.079441542
100
29.5
22
7.5
2.014903021
105
29
22
7
1.945910149
110
28.5
22
6.5
1.871802177
115
28.1
22
6.1
1.808288771
120
28
22
6
1.791759469
125
27.5
22
5.5
1.704748092
130
27.2
22
5.2
1.648658626
135
27
22
5
1.609437912
140
27
22
5
1.609437912
145
26.9
22
4.9
1.589235205
150
26.5
22
4.5
1.504077397
155
26.5
22
4.5
1.504077397
160
26.2
22
4.2
1.435084525
165
26
22
4
1.386294361
170
26
22
4
1.386294361
175
26
22
4
1.386294361
180
26
22
4
1.386294361

Una vez presentados estos datos debemos advertir los posibles errores o inexactitudes en las medidas registradas. Estos se deberán a la inherente incapacidad del ser humano de ser perfecto, además de detalles que pudieron afectar, de manera no muy brusca, los resultados obtenidos, por ejemplo el hecho de que el experimento se realizó en un salón de clases, que si bien no estaba al aire libre tampoco era un sistema aislado en el que pudiéramos controlar todas las condiciones. Otra cosa que puede degradar la exactitud de las medidas es la mucha o poca capacidad que pudieron tener los instrumentos empleados.

Para calcular los minimos cuadrados, de los datos que tenemos, tomamos como X la relacion del tiempo y como Y la relacion deln(T-Tr)
Por lo tanto tendríamos:
Tiempo(min) (X)
Loogaritmo Natural de (T-Tr)(Y)
X2
XY
Y2
0
3.8712
0
0
14.9861
5
3.8501
25
19.2505
14.8232
10
3.7013
100
37.013
13.6996
15
3.5695
225
53.5425
12.7413
20
3.4436
400
68.872
11.8583
25
3.3322
625
83.305
11.1035
30
3.2188
900
96.564
10.3606
35
3.091
1225
108.185
9.5542
40
2.9957
1600
119.828
8.9742
45
2.8903
2025
130.0635
8.3538
50
2.785
2500
139.25
7.7562
55
2.708
3025
148.94
7.3332
60
2.6026
3600
156.156
6.7735
65
2.5257
4225
164.1705
6.3791
70
2.4423
4900
170.961
5.9648
75
2.3513
5625
176.3475
5.5286
80
2.2512
6400
180.096
5.0679
85
2.1972
7225
186.762
4.8276
90
2.14
8100
192.6
4.5796
95
2.0794
9025
197.543
4.3239
100
2.0149
10000
201.49
4.0598
105
1.9459
11025
204.3195
3.7865
110
1.887
12100
207.57
3.5607
115
1.8082
13225
207.943
3.2695
120
1.7917
14400
215.004
3.2101
125
1.7047
15625
213.0875
2.906
130
1.6486
16900
214.318
2.7178
135
1.6094
18225
217.269
2.5901
140
1.6094
19600
225.316
2.5901
145
1.5892
21025
230.434
2.5255
150
1.504
22500
225.6
2.262
155
1.504
24025
233.12
2.262
160
1.435
25600
229.6
2.0592
165
1.3862
27225
228.723
1.9215
170
1.3862
28900
235.654
1.9215
175
1.3862
30625
242.585
1.9215
180
1.3862
32400
249.516
1.9215
Σ(X)=3330
Σ(Y)=85.6432
Σ(X2)=405150
Σ(XY)=6210.9985
Σ(Y2)=220.4745

Aplicamos mínimos cuadrados:

En este caso vamos a aplicar utilizar la ecuación para encontrar m (pendiente de la recta) puesto que de acuerdo a la ecuación de Ley de enfriamiento de Newton, m corresponde a l y del valor de l podemos despejar el valor de t que es la constante de tiempo del termómetro y una de las constantes que estamos buscando.
Ahora que tenemos el valor de m lo podemos sustituir para l en la ecuación l=1/t .Lo primero que haremos es despejar la constante t de la formula, y la tendríamos de la siguiente manera: t=1/l . Como en la formula, con el valor de l tenemos un signo negativo, al sustituir l con el valor que tenemos de m ya tenemos un valor positivo, por lo tanto en la formula ya lo pondremos directamente de ese modo.
La constante de tiempo del termómetro sería equivalente a t= 1/0.01419 , al resolver tendríamos el valor de t equivalente a: t=70.4721



Conclusión
Mediante la observación y el almacenamiento de datos pudimos ir registrando que temperaturas le correspondían a distintos tiempos y al graficarlo en papel milimétrico comprobamos lo que nos decían los antecedentes: que el comportamiento de esta grafica iba a ser una curva y que la temperatura decae exponencialmente conforme el tiempo aumenta. También vimos que Newton tenía razón cuando dijo que la tasa de enfriamiento es proporcional con la diferencia de temperaturas entre un objeto y el ambiente que lo rodea.
También gracias a los conocimientos que hemos adquirido pudimos plantear una ecuación del tiempo y= axn y aplicándole logaritmos y mínimos cuadrados encontrar el valor de a y de n.
Como último comentario nos gustaría decir que esta práctica y la anteriormente realizadas fueron muy nutritivas, no solo por los temas que en ellas se trataron, si no porque fue un bonito reto el plasmar todos los conocimientos que adquirimos en varias materias y relacionarlos entre si para cumplir con un objetivo, ya que esto es finalmente de lo que se auxilia la física, un conocimiento no puede quedar completo si no se involucran en el todos los tipos de saberes que nos pueden ser útiles.


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